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  古典几何是研究几何对象(如点线面角)之间的关系的学科,而古典代数是研究各类代数方程的解的学科。笛卡尔的解析几何建立了两者之间的桥梁。实际上,笛卡尔坐标系就是给出了所要研究的欧几里德平面(或三维空间)的两个(或者三个)坐标函数。黎曼首先意识到利用空间上全体连续函数与可微函数来研究该空间会更有成效,因此引入了流形的概念,然后全体函数作为数学系统有了加和乘的运算,既构成了代数。此代数为交换代数。

  上世纪八十年代初,A.Connes 发现有些几何对像对应于由Hilbert空间上的算子组成的非交换代数(在这种代数中,乘法是不交换的),而这种非交换性对应物理学中的海森堡测不准原理,因而建立了非交换几何。

  算子代数是非交换几何的主要研究工具。作为代数,分析与几何之间的交叉学科,非交换几何在微分几何、代数拓扑、动力系统、数论及数学物理上都有深刻应用。

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